用OpenGL制作摄像机系统

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用OpenGL制作摄像机系统

花了我很长的时间，才把这个摄像机系统制作出来。主要是因为要做这个摄像机系统，就要学习很多的数学知识。没有这些数学知识，想在三维中驰骋是很难的。这里最让我头疼的就是已知一个三维向量，求它相对一个向量旋转后的向量。我找了很多资料，终于在一篇网站上找到了。上面写着可以使用四元组的方法，也可以使用旋转矩阵的方法。其中四元组的方法由于我的理解有限，就没有做出来。所以借着《OpenGL超级宝典》和东拼西凑的一些知识，我完成了旋转矩阵的计算。做了一个小实验，结果还挺准确的呢。

演示程序下载地址：这里

程序源代码下载地址：这里

这里先看一下我的截图吧。

图1从下往上看

图2从上往下看

这里看一下别人是如何描述问题并且解决问题的：

3D空间中的旋转可用旋转矩阵、欧拉角或四元数等形式来表示，他们不过都是数学工具，其中在绕任意向量的旋转方面，旋转矩阵和四元数两种工具用的较多，欧拉角由于存在万向节死锁等问题，使用存在限制。

（本文假设坐标系为左手坐标系中，旋转方向为顺时针。）

所求问题：

给定任意单位轴q(q1,q2,q3)(向量),求向量p(x,y,z)(或点p)饶q旋转theta角度的变换后的新向量p'(或点p')：

1.用四元数工具：
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结论：构造四元数变换p'=q*p*q-1，（p,q是由向量p,q扩展成的四元数）。那么，p'转换至对应的向量(或点)就是变换后的新向量p'(或点p')。

其中，p',q,p,q-1均为四元数。q由向量q扩展,为q=(cos(theta/2),sin(theta/2)*q)，p由向量p扩展,为p=(0,x,y,z),q-1为q的逆，因为q为单位四元数，所以q-1=q*=(cos(theta/2),-sin(theta/2)*q)。
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（这个结论的证明过程可以在网上找到。这里略去。）
下面看其时间复杂度：

首先有个三角函数的计算时间，这个可以预先计算好，花费时间不计。考虑n个四元数相乘需进行4*4*(n-1)=16*(n-1)次乘法，15*(n-1)次加法，因为加法化费时间较少，这里仅考虑乘法。这里涉及到三个四元数的乘法，设一次乘法的时间为T,故花费16*2=32T

2.旋转矩阵工具：
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结论：构造旋转矩阵变换Trot,则变换后的新向量p'(或点p')为p'=p*Trot

其中，p'（x',y',z',1）,p(x,y,z,1)为向量p'，p的4D齐次坐标表示，Trot=

|t*q1*q1 + c,t*q1*q2 + s*q3, t*q1*q3 -s*q2, 0|
|t*xq1*q2 -s*q3, t*q2*q2 + c,t*q2*q3 + s*q1, 0|
|t*q1*q3 +s*q2, t*q2*q3 - s*q1,t*q3*q3 + c,0|
|0,0,0,1|

c=cos(theta),s=sin(theta),t=1-c.
-------------------------------------------------------------------------
（这个结论的证明过程可以在网上找到。这里略去。）

下面看其时间复杂度：

三角函数的计算时间不计。矩阵本身的元素乘法主要是计算t*x和s*x之类，需进行12+3=15次乘法。两个矩阵相乘的需进行n*n*n次乘法,这里n=4，所以花费4*4*4=64次乘法时间,但这里有个注意的地方就是旋转矩阵的第4维无须考虑，即可简化为3X3的矩阵。故花费3*3*3=27次乘法时间，总共的时间为15+27=42次乘法时间。cost=42T.

比较来看，还是使用四元数的效率要高出一些，这在要变换的点的数目越大时，体现的越明显。实际上，有很多3D引擎为了利用四元数运算的高效率性，一般先将矩阵转换成四元数后进行运算再转回为矩阵后，再传给DirectX或OpenGL库函数。

有谁能够了解四元数能解决这个问题的？先谢谢了！

没有办法，我还是研究旋转矩阵的方法吧。上面介绍中，q1、q2、q3分别代表轴向量的x、y和z坐标。根据下列公式进行演算就可以得出旋转矩阵。恰好OpenGL有一个载入矩阵的好方法：glMultMatrixf(matrix );，用它可以载入任何4✕4的矩阵。这样计算再结合《OpenGL超级宝典》，得出来的代码就像这样：

float* RotationMatrix( float* pOutMatrix, const Vector3F& vector,
                       float angleInRadius )// 使用矩阵的方法计算矩阵（也可以使用四元组，但是我不会……）
{
    // 确保pOutMatrix是一个矩阵
    assert( pOutMatrix != 0 );
    float c = cos( angleInRadius ), s = sin( angleInRadius ), t = 1.0f - c;
    float txx = t * vector.x * vector.x,
            txy = t * vector.x * vector.y,
            txz = t * vector.x * vector.z,
            tyy = t * vector.y * vector.y,
            tyz = t * vector.y * vector.z,
            tzz = t * vector.z * vector.z,
            sx = s * vector.x,
            sy = s * vector.y,
            sz = s * vector.z;
#define MATRIX( row, col ) pOutMatrix[ row * 4 + col ]// 临时定义的宏
    MATRIX( 0, 0 ) = txx + c;
    MATRIX( 0, 1 ) = txy + sz;
    MATRIX( 0, 2 ) = txz - sy;
    MATRIX( 0, 3 ) = 0.0f;
    MATRIX( 1, 0 ) = txy - sz;
    MATRIX( 1, 1 ) = tyy + c;
    MATRIX( 1, 2 ) = tyz + sx;
    MATRIX( 1, 3 ) = 0.0f;
    MATRIX( 2, 0 ) = txz + sy;
    MATRIX( 2, 1 ) = tyz - sx;
    MATRIX( 2, 2 ) = tzz + c;
    MATRIX( 2, 3 ) = 0.0f;
    MATRIX( 3, 0 ) = 0.0f;
    MATRIX( 3, 1 ) = 0.0f;
    MATRIX( 3, 2 ) = 0.0f;
    MATRIX( 3, 3 ) = 1.0f;
#undef MATRIX
    return pOutMatrix;
}