矩阵奇异值分解

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奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解，在信号处理、统计学等领域有重要应用。

定义：设A为m*n阶矩阵，A^HA的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值。记为σ_i(A)。

如果把A^HA的特征值记为λ_i(A)，则σ_i(A)＝λ_i(A^HA)^(1/2)。

定理:（奇异值分解）设A为m*n阶复矩阵，则存在m阶酉阵U和n阶酉阵V，使得:A = U*S*V’

其中S=diag(σ_i,σ₂,……,σ_r)，σ_i>0 (i=1,…,r)，r=rank(A)

推论：设A为m*n阶实矩阵，则存在m阶正交阵U和n阶正交阵V，使得:A = U*S*V’

其中S=diag(σ_i,σ₂,……,σ_r)，σ_i>0 (i=1,…,r)，r=rank(A)

说明：

1、奇异值分解非常有用，对于矩阵A(m*n)，存在U(m*m)，V(n*n)，S(m*n)，满足A = U*S*V’。U和V中分别是A的奇异向量，而S是A的奇异值。AA'的正交单位特征向量组成U，特征值组成S'S，A'A的正交单位特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成SS'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。

2、奇异值分解提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（S的阶数）和A的秩相同，一旦秩r确定，那么U的前r列构成了A的列向量空间的正交基。

关于奇异值分解中当考虑的对象是实矩阵时: S对角元的平方恰为A'A特征值. (对复矩阵类似可得)

从上面我们知道矩阵的奇异值分解为: A=USV, 其中U,V是正交阵(所谓B为正交阵是指B'=B^-1, 即B'B=I),S为对角阵.

A'A=V'S'U'USV=V'S'SV=V^-1S²V

上式中, 一方面因为S是对角阵, S'S=S², 且S²对角元就是S的对角元的平方. 另一方面注意到A'A是相似与S²的, 因此与S²有相同特征值.

其实奇异值可以认为是一种特殊的矩阵范数！