C# 用回溯递归解决“八皇后”问题

　　在很早以前，我曾经用C++写过一篇使用回溯法来生成随机数独的博客。这一次，考虑到这是一系列关于C#的博客，所以利用C#的一些特点，来解决著名的“八皇后”问题。

　　一、问题概述

　　问题概述搬自百度百科。八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8X8格的国际象棋棋盘上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

　　二、算法分析

　　在迭代过程中，不停进行尝试，如果不行则退回来，换一条路走，这就是“回溯法”的基本思想。

　　在本例中，基本算法如下：先遍历棋盘的每一行，在每一行的第一个位置放一个皇后，接下来遍历每一列，寻找下一个皇后的位置；一旦找到合适的位置，则把下一个皇后放上去；然后再寻找其下一列放皇后的位置。如果某一列不存在可以放皇后的位置（也就是“无解”的情况），则将前一步的皇后拿掉，回到前一步寻找下一个放皇后的位置。

　　例如，对于以下的情况，我们无法在F列再放入一个皇后，问题“无解”，此时我们就要将E4的皇后拿走，从E5、E6、E7、E8来遍历可以放皇后的位置。拿走E4皇后的这个行为就叫做“回溯”——我们试过了不行，所以就返回换一个条件重新试。

　　递归是不断调用自身的过程。其流程图大致如下所示：

　　三、面向对象的思维设计

　　既然是用C#来实现算法，那么就要用到面向对象的思维，而不是C语言中面向过程的思维。在本例中，我们可以看成，我们在“棋盘”上放“皇后”，可以将棋盘和皇后设计为类。棋盘的作用是，用回溯法往自身上面放“皇后”对象，皇后的作用是，记录自身所在的棋盘位置，以及判断是否与其它皇后相冲突。

　　以下是Queen类（Queen.cs）的源代码：

using System;

namespace EightQueen
{
    public class Queen
    {
        public int X { get; set; }
        public int Y { get; set; }
        public Queen(int _X, int _Y)
        {
            X = _X;
            Y = _Y;
        }

        public bool HasCollision(Queen otherQueen)
        {
            return (
                X == otherQueen.X ||
                Y == otherQueen.Y ||
                Math.Abs(X - otherQueen.X) == Math.Abs(Y - otherQueen.Y)
                );
        }

        public static bool HasCollision(Queen queen1, Queen queen2)
        {
            return (
               queen1.X == queen2.X ||
               queen1.Y == queen2.Y ||
               Math.Abs(queen1.X - queen2.X) == Math.Abs(queen1.Y - queen2.Y)
               );
        }

        public override string ToString()
        {
            return String.Format("X: {0}, Y: {1}", X, Y);
        }
    }
}

　　我们可以用Queen.HasCollision来判断两个Queen类是否相冲突（是否在相同横、竖或斜线上），判断方法十分简单，如果两个皇后的X坐标相同，或者Y坐标相同，或者两个皇后的X坐标之差的绝对值与Y坐标之差的绝对值相同，则说明它们是相冲突的。

　　接下来是棋盘类，它用于存放皇后。以下是棋盘类Checkerboard.cs的源代码：

using System.Collections.Generic;
using System.Text;

namespace EightQueen
{
    public class Checkerboard
    {
        public List<Queen> Queens;
        public List<int[,]> Results;
        private int Size;
        
        public Checkerboard(int size)
        {
            Size = size;
            Results = new List<int[,]>();
        }

        public int[][,] SettleQueen()
        {
            Results = new List<int[,]>();
            SettleNext(new List<Queen>(Size), 0);
            return Results.ToArray ();
        }

        private bool SettleNext(List<Queen> queens, int x)
        {
            //按照行来遍历
            for (int _x = x; _x < Size; _x++)
            {
                bool hasSettled = false;
                //按照列来遍历
                for (int _y = 0; _y < Size; _y++)
                {
                    Queen q = new Queen(_x, _y);
                    if (queens.Count == 0)
                    {
                        // 一定可以放一个皇后
                        hasSettled = true;
                        queens.Add(q);
                        hasSettled = SettleNext(queens, x + 1);
                    }
                    else
                    {
                        bool hasCollision = false;
                        foreach (var queen in queens)
                        {
                            if (queen.HasCollision (q))
                            {
                                //只要包含一个皇后冲突，则将hasCollision标记为true
                                hasCollision = true;
                                break;
                            }
                        }
                        if (!hasCollision)
                        {
                            hasSettled = true;
                            queens.Add(q);
                            hasSettled = SettleNext(queens, x + 1);
                        }
                    }
                }
                if (!hasSettled)
                {
                    //遍历完一列后，如果没有合适的摆放位置，则回溯
                    //此时有两种情况：如果queens集合成语数量大于0，说明它可以进行回溯；如果等于0，说明它已经将所有的情况遍历完成，此时应该终止递归。
                    if (queens.Count > 0)
                    {
                        queens.RemoveAt(queens.Count - 1);
                        return false;
                    }
                    return true;
                }
            }

            if (queens.Count == Size)
            {
                Results.Add(ToResultMap(queens));
                //得到一种解后，回溯，寻求下一个解
                //遍历完一列后，如果没有合适的摆放位置，则回溯
                queens.RemoveAt(queens.Count - 1);
                return false;
            }
            return true;
        }

        private int[,] ToResultMap(IEnumerable<Queen> queens)
        {
            int[,] result = new int[Size, Size];
            //把所有数组中的数字赋予初值0
            for (int i = 0; i < Size; i++)
            {
                for (int j = 0; j < Size; j++)
                {
                    result[i, j] = 0;
                }
            }
            //将皇后的位置标记为1
            foreach (var queen in queens)
            {
                result[queen.Y, queen.X] = 1;
            }

            return result;
        }

        public static string ResultMapToString(int[,] resultMap)
        {
            StringBuilder sb = new StringBuilder((int)(resultMap.GetLongLength(0) * resultMap.GetLongLength(1)));
            for (int i = 0; i < resultMap.GetLongLength (0); i++)
            {
                for (int j = 0; j < resultMap.GetLongLength(1); j++)
                {
                    sb.Append(resultMap[i, j] == 0 ? "□" : "■");
                }
                sb.AppendLine();
            }

            return sb.ToString();
        }
    }
}

　　棋盘类在实例化的时候可以接入一个Size参数，表明是棋盘的大小。在设计时，为了解决这一类问题，不应当把棋盘的大小限定为8x8。Queens保存的是某一个解中的Queen对象组，通过ToResultMap方法，传入Queens，可以得到一个矩形数组int[,]，元素总数是Size * Size。数组表示的是一个棋盘，如果某位置没有皇后，则为0，某位置放了皇后，则为1。如果你觉得这样不够直观，可以用ResultMapToString将这个矩形数组以文本的形式返回。

　　下面是程序的入口Program.cs：

using System;

namespace EightQueen
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            Checkerboard checkerboard = new Checkerboard(8);
            int[][,] results = checkerboard.SettleQueen();
            foreach (int[,] result in results)
            {
                Console.WriteLine(Checkerboard.ResultMapToString(result));
            }
            Console.WriteLine("共{0}组解。", results.Length);
            Console.ReadKey(true);
        }
    }
}

　　首先实例化一个棋盘Checkerboard，大小为8*8。通过调用Checkerboard.SettleQueen来得到所有解，通过遍历所有解，调用Checkerboard.ResultMapToString方法将所有解输出，最后输出解的总数。

　　在此我们已经看出面向对象编程的好处了。整个程序一目了然，非常简单、清晰。

　　事实上，只要棋盘的大小≥4，就存在解，大家可以去试一试。