最少钱币数

【问题描述】

这是一个古老而又经典的问题。用给定的几种钱币凑成某个钱数，一般而言有多种方式。例如：给定了6种钱币面值为2、5、10、20、50、100，用来凑 15元，可以用5个2元、1个5元，或者3个5元，或者1个5元、1个10元，等等。显然，最少需要2个钱币才能凑成15元。

你的任务就是，给定若干个互不相同的钱币面值，编程计算，最少需要多少个钱币才能凑成某个给出的钱数。

之前使用了贪心法求解，贪心法是有一定条件才能成立的，具体什么条件，这里暂时不探讨，以后有机会我总结一下。

这个问题可以简述为：

如有 int coins[m] 个硬币，需要找零n（任意大的整数）钱币，那么如何做呢？

这就是需要动态规划法了，

假设cNums[i]是记录了需要的最少硬币数来找零i元的。那么如果我们使用面值是x的硬币来找零，那么现在我们就需要 cNums[i] = 1+cNums[i-x];记得i是总钱币数，需要减少x，然后找到了i-x下标，对应之前已经找到的最少钱币数的存储数组的值。

如下面的图：

每次只需要使用一个变量c存储当前行中最小值。12.8updat图表：

例子解说：

这里的初始化值是0，因为要找零0元，只需要0个硬币。

我们有2元7元和3元的硬币值。

当i=2的时候，那么就需要1个2元的硬币，到了3的时候就需要一个3元硬币，到了4需要2个2元硬币。以此类推，到了10可以用5个2元硬币，也可以用一个7元，一个3元，当然也可以先用3元再用7元，顺序不要紧，比较5和2,当然是2个硬币最少，所以最后就是2个硬币就可以找零10元了。

看程序：

int minChangeDP(int coins[], int m, int n, vector<int> &minCoins)
{
	if (n<0)
	{
		return -1;
	}
	vector<int> cNums(n+1,0);
	//注意：这里需要分配好内存
	minCoins.resize(n+1);
	int min;
	int c;
	//注意：这里的下标是1到n+1，因为第0个元素默认为零总钱币数，就只需要零张找零
	for (int i = 1; i < n+1; i++)
	{
		min = INT_MAX;
		c = 0;
		for (int j = 0; j < m; j++)
		{
			if (coins[j] <= i)
			{
				//注意：一定要有判断-1的条件，否则结果不正确
				//这里的意思是-1代表无法整数硬币找零，即无解！
				if (1+cNums[i-coins[j]] < min && cNums[i-coins[j]] != -1)
				{
					//注意：这里的min和c都是所有零钱比较过之后放入最小值才存在到cNums和minCoins中
					min = 1+cNums[i-coins[j]];
					c = j;
				}
			}
		}
		cNums[i] = min==INT_MAX? -1:min;
		minCoins[i] = c;
	}
	return cNums[n];
}

这里返回的是最少硬币数，其实可以更加强大，已经保存了所有n元以下的最少硬币找零的情况，有兴趣可以修改一下。

还可以输出最终方案呢：12.8 update : 减少coins[]元素个数的参数，不需要。

void makeChanges(int coins[], vector<int> &minCoins, int n)
{
	while (n>0)
	{
		cout<<coins[minCoins[n]]<<"\t";
		n = n - coins[minCoins[n]];//minCoins[]是硬币序列coins的下标
	}
	cout<<endl;
}

也可以输出所有n元一下的最少硬币找零情况。稍微修改一下就可以了。

下面是测试程序：

int main()
{
	int i;
	int arr1[] = {2};
	int arr2[] = {2,7};
	int arr3[] = {2,7,3};
	int m1 = sizeof(arr1)/sizeof(arr1[0]);
	int m2 = sizeof(arr2)/sizeof(arr2[0]);
	int m3 = sizeof(arr3)/sizeof(arr3[0]);
	//打印0-11元的所有最小硬币数
	for (i=0; i < 11; i++)
	{
		printf("%d  ", countDP(arr1, m1, i));
		printf("%d  ", countDP(arr2, m2, i));
		printf("%d  ", countDP(arr3, m3, i));
		cout<<endl;
	}
	
	cout<<endl;
	vector<int> minCoins;
	cout<<"Minimum changes is:\n";
	cout<<minChangeDP(arr3, m3, 999, minCoins);
	cout<<endl;

	cout<<"The changes we need is:\n";
	makeChanges(arr3, minCoins, 999);
	cout<<endl;

	system("pause");
	return 0;
}

运行结果，为了趣味，输出几个大点的方案看看：

10元找零方案：