使用向量点积来实现将模型绕着中心点旋转

如何在三维空间中实现模型绕着中心点旋转？这个问题听起来容易，但是经过我的实践，发现其实还是挺困难的。在研究OpenGL和DirectX的初级阶段，我相信这个问题还是挺伤大家的脑筋的。究竟该如何实现这样的功能呢？我想大家可能需要回过头，复习一下我们高中的知识，通过平面解析几何的类比，大家会找到好方法的。

这里要追溯到我们高中所学的向量和平面解析几何的知识。话说向量a是一个普通的向量，向量b是a相对于中心顺时针旋转α角形成的。已知向量a和b，求α。

方法很简单，首先将这个图片平移，如下：

这里我们可以利用向量的点阵公式，a·b = |a||b|cosα，算出α= arccos(a·b/|a||b| )。在解析几何中，设a (x_a, y_a)，b (x_b, y_b)，那么a·b = x_a x_b+ y_a y_b。|a||b|=√(xa2+ya2)·√(xb2+yb2)，这样求解起来就容易了。

现在思路换到三维空间。同理，a·b满足广义的笛卡尔内积形式，这样的话，同样地可以通过上述的公式求出两个三维向量之间的夹角。

设a (xa, ya，za)，b (xb, yb，zb)，那么a·b = xa xb+ ya yb+ za zb。|a||b|=√(xa2+ya2+za2)·√(xb2+ yb2+zb2)，这按照方法求出α。
　　这样做对向量的旋转有着很大的作用。如果一个圆锥，它的默认的位置是这样的（如下图），那么可以取它的向上的向量up（0，1，0），想让它的开口朝向黄色的线direction（1，1，-1），蓝色的线和黄色的线之间的角度为α，那么我们可以这样运算（本例使用Qt实现）。

// 计算出旋转轴和旋转角度
    float angleInRadians =  PI - acos( QVector3D::dotProduct( up, direction ) /
                                 direction.length( ) / up.length( ) );
    const QVector3D& axis = QVector3D::crossProduct( up, direction );
    glPushMatrix( );
    glTranslatef( pos.x( ), pos.y( ), pos.z( ) );
    glRotatef( angleInRadians * 180 / PI,
               axis.x( ), axis.y( ), axis.z( ) );

这里，axis是旋转的轴向量，因为向量up和direction相交于一点（模型的几何中心），那么它们唯一确定一个平面，这个平面的法向量就是up×direction，所以要使up向量旋转到-direction向量上（之所以是-direction是因为要求开口朝上而不是尖尖朝上），就要以axis为轴进行旋转。下面就是执行结果。